NSI honer

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Schéma de Hörner

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1 Le schéma de Hörner pour le calcul de valeurs

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a) Un exemple

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Soit la fonction polynôme P définie par \(P\left( x \right)\ = \ 2x^{3}{}_{-}7x^{2} + \ 4x - \ 1\) .

On souhaite calculer   \(P\left( a \right)\) pour \(a = \ 5\) .

Le calcul de \(P\left( 5 \right)\) nécessite 6 multiplications et 3 “additions-soustractions” :

\(P\left( 5 \right)\ = \ 2 \times 5 \times 5 \times 5 - 7 \times 5 \times 5 + 4 \times 5 - 1\ = \ 94\)

Si on utilise l’écriture suivante \(P\left( x \right)\ = \ \left( {\left( {2x - \ 7} \right)x + \ 4} \right)x - \ 1\) , le calcul de l’image de 5 nécessite 3 multiplications et 3 “additions-soustractions” :

\(P\left( 5 \right)\ = \ \left( {\left( {2 \times 5 - 7} \right) \times 5 + 4} \right) \times 5 - 1\ = \ 94\)

On admet que l’écriture précédente de \(P\left( x \right)\) , nommée schéma de Hörner, se généralise à un polynôme de degré quelconque.

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b)  Présentation pratique

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  2 \(- 7\) 4 \(- 1\)
\(a = \ 5\)   10 15 95
  2 3 19 94

En pratique, on peut présenter le calcul précédent de \(P\left( a \right)\) à l’aide du tableau suivant :

construit selon la méthode décrite ci-dessous :

\(P\left( a \right)~~ = 2a^{3} - 7a^{2} + \ 4a - 1\)

\(P(a) = ~\left( {\left( {2a - \ 7} \right)a + \ 4} \right)a - \ 1\)image0

\(a = \ 5\)

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2 Le schéma de Hörner pour la division par \(x - a\)

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La dernière ligne du tableau précédent ne nous livre pas seulement la valeur de \(P\left( a \right)\) .

En effet, si construit en utilisant les trois premiers cœfficients de cette ligne, le polynôme Q de degré 2 de la manière suivante :

on remarque que : image1

\(Q\left( x \right)\left( {x - a} \right)\ = \ \left( {2x^{2} + 3x + 19} \right)\left( {x - 5} \right)\ = \ 2x^{3} - 7x^{2} + 4x - 95\ = \ \left( {2x^{3} - 7x^{2} + 4x - 1} \right) - 94\ = P\left( x \right) - P\left( a \right).\) On admet que ce résultat se généralise à un polynôme P de degré quelconque.

Dans le cas particulier où \(a\) est une racine de \(P\left( {c.a.d.P\left( a \right)\ = \ 0} \right)\) , le tableau de Hörner nous donne la factorisation de \(P\left( x \right)\) par \(\left( {x - a} \right).\)

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3 Implémentation récursive :

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Code en langage python de l’implémentation récursive (il y a aussi de l’itération)

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image2

Résultat :

image3