Méthode des rectangles

Méthode des rectangles
TP  : Méthode des rectangles.
\[I = \int_{0}^{1}{\frac{e^{x}}{1 + x}\text{dx}}\]

Principe :

On approche la valeur de l’intégrale par l’aire de rectangles dont on diminue la largeur pour augmenter la précision du résultat obtenu.

Mise en application :

On considère la fonction \(\text{f }\) définie sur \(\lbrack 0\ ;1\rbrack\) par :

\[f\left( x \right) = \frac{e^{x}}{1 + x}\]
  1. Etudier les variations de \(\text{f }\) sur \(\lbrack 0\ ;1\rbrack\ \);
  2. Pour tout entier \(n \geq 1\) , on pose
\[S_{n} = \sum_{k = 0}^{n - 1}{\frac{1}{n} \times f\left( \frac{k}{n} \right)}\text{et }T_{n} = \sum_{k = 1}^{n}{\frac{1}{n} \times f\left( \frac{k + 1}{n} \right)}\]
  1. Justifier que, pour tout entier \(k\) de \(0\) à:math:n - 1, on a :
\[\frac{1}{n} \times f\left( \frac{k}{n} \right) \leq \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k + 1}{n}}{f(x)dx \leq \frac{1}{n} \times f\left( \frac{k + 1}{n} \right)}\]

b) En déduire que : \(S_{n} \leq \int_{0}^{1}{\frac{e^{x}}{1 + x}\text{dx}} \leq T_{n}\)

  1. Calculer \(T_{n} - S_{n}\)
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\(\frac{1}{n} \times f\left( \frac{k}{n} \right)\) est l’aire d’un rectangle de largeur \(\frac{1}{n}\) et de longueur \(f\left( \frac{k}{n} \right)\).

On découpe ainsi l’aire sous la courbe en rectangles aussi petits que l’on veut.

TP  : Algorithme.

Ancien Algorithme

Variables :

\(n,k\) : entiers ;

\(s\) : réel ;

Début

Entrer(n) ;

\(S \longleftarrow 0\) ;

Pour \(\text{k }\)allant de \(0\) à \(n - 1\) Faire

\(S \longleftarrow S + \frac{1}{n} \times f\left( \frac{k}{n} \right)\)

FinPour

Afficher (\(S\)) ;

Fin

Nouvel Algorithme .

Fonction

\(f_{n}( k ) =\frac{1}{n} \times\frac{e^{\frac{k}{n}}}{1 + \frac{k}{n}}\)

\(S \longleftarrow 0\) ;

Pour \(\text{k }\)allant de \(0\) à \(n - 1\)

\(S \longleftarrow S + f_{n}( k )\)

Fin Pour

Quel est le résultat final affiché par cet algorithme ?

TP  : Code final.

Code final